Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости признак. Лекция по математике на тему "теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости" Теорема о единственности прямой перпендикулярной плоскости

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости.
В начале урока сформулируем изучаемую теорему о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. Для ее доказательства вначале рассмотрим и докажем утверждение о существовании плоскости, перпендикулярной к данной прямой. После доказательства теоремы мы рассмотрим несколько задач-следствий на изучаемую тему.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости .

Утверждение

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М . Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а .

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а . В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р ) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а . Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Теорема

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Доказательство .

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с , перпендикулярная плоскости α .

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а . Пусть прямая b - линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с , перпендикулярную прямой b .

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с 1 , проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с 1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с 1 параллельны. Но по построению прямые с и с 1 пересекаются в точке М . Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а , то они параллельны.

Доказательство:

Проведем прямую с параллельно прямой а . По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая а пересекает плоскости α и β по условию. Значит прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А и плоскость β в точке В.

Прямая а перпендикулярна плоскостям α и β, а значит и параллельная ей прямая с перпендикулярна плоскостям α и β.

Предположим, что плоскости α и β пересекаются. Точка М - общая точка плоскостей α и β. Но тогда в треугольнике АМВ угол МАВ равен 90° и угол АВМ равен 90°, что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости α и β пересекаются было неверным. Значит, плоскости α и β параллельны.

Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Доказательство :

Пусть дана прямая а и точка М . Согласно утверждению, существует плоскость γ, проходящая через точку М , перпендикулярная прямой а . Докажем ее единственность.

Предположим, что существует плоскость γ 1 , проходящая через точку М , перпендикулярная прямой а . Две плоскости γ и γ 1 перпендикулярны одной и той же прямой а, а значит, плоскости γ и γ 1 параллельны (как мы доказали в задаче 1). Но точка М принадлежит и плоскости γ и γ 1 . Получили противоречие. Значит, через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой а , что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. На следующем уроке мы рассмотрим решение задач с такими прямыми.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 15, 16, 17 стр. 58

2. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:

а) двум сторонам треугольника

б) двум сторонам трапеции

в) двум диаметрам круга.

3. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

4. Прямые а, b , с лежат в плоскости α. Прямая m перпендикулярна прямым а и b , но не перпендикулярна с . Каково взаимное расположение прямых а и b ?

Закрепим понятие перпендикулярности прямой и плоскости конспектом урока. Предоставим общее определение, сформулируем и приведём доказательства теоремы и решим несколько задач на закрепление материала.

Из курса геометрии известно: две прямые считаются перпендикулярными, когда они пересекаются под углом 90 о.

Вконтакте

Одноклассники

Теоретическая часть

Переходя к исследованию характеристик пространственных фигур, будем применять новое понятие.

Определение:

прямая будет называться перпендикулярной плоскости, когда она перпендикулярна прямой на поверхности, произвольно проходящей через точку пересечения.

Иначе говоря, если отрезок «АВ» перпендикулярен плоскости α, тогда угол пересечения со всяким отрезком, проведённым по данной поверхности через «С» точку прохождения «АВ» через плоскость α, будет 90 о.

Из вышесказанного вытекает теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости:

в случае если прямая, проведённая через плоскость, будет перпендикулярна двум прямым, проведённым на плоскости через точку пересечения, то она перпендикулярна целой плоскости.

Говоря другими словами, если на рисунке 1 углы ACD и ACE равны 90 о, то и угол ACF тоже будет 90 о. Смотреть рисунок 3.

Доказательство

По условиям теоремы линия «а» проведена перпендикулярно линиям d и e. Иначе говоря, углы ACD и ACE равны 90 о. Приводить доказательства будем, исходя из свойств равенства треугольников. Смотреть рисунок 3.

Через точку C прохождения линии a через плоскость α прочертим линию f в произвольном направлении. Приведём доказательства, что она будет перпендикулярна отрезку AB или угол ACF будет 90 о.

На прямой a отложим отрезки одинаковой длины AC и AB. На поверхности α проведём линию x в произвольном направлении и не проходящую через место пересечения в точке «С». Линия «х» должна пересекать линии e, d и f.

Соединим прямыми точки F, D и E c точками A и B.

Рассмотрим два треугольника ACE и BCE. По условиям построения:

1. Имеются две одинаковые стороны AC и BC.
2. У них дна общая сторона CE.
3. Два равных угла ACE и BCE — по 90 о.

Следовательно, по условиям равенства треугольников, если имеем две равные стороны и одинаковый угол между ними, то эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что стороны AE и BE равны.

Соответственно доказывается равенство треугольников ACD и BCD, иначе говоря, равенство сторон AD и BD.

Теперь рассмотрим два треугольника AED и BED. Из ранее доказанного равенства треугольников следует, что у этих фигур есть одинаковые стороны AE с BE и AD с BD. Одна сторона ED общая. Из условия равенства треугольников, определённых по трём сторонам, следует, что углы ADE и BDE равны.

Сумма углов ADE и ADF составляет 180 о. Сумма углов BDE и BDF также будет 180 о. Так как углы ADE и BDE равны, то и углы ADF и BDF равны.

Рассмотрим два треугольника ADF и BDF. Они имеют по две равных стороны AD и BD (доказано ранее), DF общую сторону и по равному углу между ними ADF и BDF. Следовательно, эти треугольники имеют одинаковые по длине стороны. То есть сторона BF имеет ту же длину, что и сторона AF.

Если рассматривать треугольник AFB, то он будет равнобедренный (AF равняется BF), а прямая FC является медианой, так как по условиям построения сторона AC равняется стороне BC. Следовательно, угол ACF равняется 90 о. Что и следовало доказать.

Важным следствием из приведённой теоремы будет утверждение:

если две параллельные пересекают плоскость и одна из них составляет угол 90 о, то и вторая походит через плоскость под углом 90 о.

По условиям задачи a и b являются параллельными. Смотреть рисунок 4. Линия a перпендикулярна поверхности α. Отсюда следует, что линия b будет также перпендикулярна поверхности α.

Для доказательства через две точки пересечения параллельных прямых с плоскостью проведём на поверхности прямую c . По теореме о прямой, перпендикулярной плоскости, угол DAB будет 90 о. Из свойств параллельных прямых следует, что угол ABF тоже будет 90 о. Следовательно, по определению прямая b будет перпендикулярна поверхности α.

Использование теоремы для решения задач

Для закрепления материала, используя основополагающие условия перпендикулярности прямой и плоскости, решим несколько задач.

Задача № 1

Условия. Из точки A построить перпендикулярную линию плоскости α. Смотреть рисунок 5.

На поверхности α проведём произвольную прямую b. Через прямую b и точку A построим поверхность β. Из точки A на линию b проведём отрезок AB. Из точки B на поверхности α проведём перпендикулярную линию c .

Из точки A на линию с опустим перпендикуляр AC. Докажем, что эта линия будет перпендикулярна плоскости.

Для доказательства через точку C на поверхности α проведём линиюd, параллельную b, и через линию c и точку A построим плоскость. Линия AC перпендикулярна линии c по условию построения и перпендикулярна линии d, как следствие о двух параллельных линиях из теоремы о перпендикулярности, так как по условию линияb перпендикулярна поверхности γ.

Следовательно, по определению перпендикулярности линии и плоскости, построенный отрезок AC перпендикулярен поверхности α.

Задача № 2

Условия. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры:

• угол DBF будет 90 о
• сторона BD =12 см;
• сторона BF =16 см;
• BC - медиана.

Смотреть рисунок 6.

Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см.

Решение. По теореме Пифагора, гипотенуза или сторона DF равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Длина BD в квадрате равна 144 и, соответственно, BC в квадрате будет 256. В сумме 400; извлекая квадратный корень, получаем 20.

Медиана BC в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на две равные части и по длине равна этим отрезкам, то есть ВС = DC = CF = 10.

Снова используется теорема Пифагора, и получаем: гипотенуза C = 26, что является квадратным корнем из 675, суммы квадратов катетов 576 (АВ = 24 в квадрате) и 100 (ВС = 10 в квадрате).

Ответ: Длина отрезка АС равняется 26 см.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна. Доказательство. Построение. 1. 2. 3. 1. 2. () 4. , 5. 6. , 3. 4. , Допустим, . , . Допущение неверно, единственная прямая перпендикулярная к. Что и требовалось доказать.

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой и притом только одна. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Задача. квадрат, точка пересечения диагоналей. . Доказать: а) ; б). Доказательство. Что и требовалось доказать. 1. 2. (свойство диагоналей квадрата) 3. , 4. 5. 6.

Задача. Доказать, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой. Доказательство. Что и требовалось доказать. , 1. , 2. , 3. 4. , 5. 6. , 7. , 8. 9.

Задача. Доказать, что если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные плоскости параллельны. Доказательство. Что и требовалось доказать. 1. 2. 3. , 4. Допустим: , . В!? Допущение неверно. 5. ,

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна. Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой. Если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные плоскости параллельны.

Лекция по теме «Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости»

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

И две теоремы о параллельных прямых прямая теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

И обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство этих теорем мы уже с вами разбирали.

На экране текст:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

На экране добавляется текст:

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

На экране добавляется текст:

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Задача.

Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для решения рассмотрим прямую а, и произвольную точку пространства –точку М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.

Для доказательства проведем две плоскости α и β содержащие прямую а, так как это их общая прямая, значит прямая а их линия пересечения.

В плоскости β через точку М проведем прямую b перпендикулярную к прямой а . пусть эти прямые пересекаются в точке О.

В плоскости α проведём прямую с , проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а .

По теореме о существовании плоскости, а именно через две пересекающие прямые в и с можно провести плоскость и при том только одну.

Рассмотрим плоскость γ ( гамма ) , проходящая через прямые с и b .

Плоскость γ( гамма ) будет искомой плоскостью, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым в и с

На экране текст задачи: Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

На экране чертеж

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт решения.

Проведем α, β: а , М

На экране обновляется чертёж и пункт доказательства 2)

Проведем b : b , b , b а, b а=О

На экране обновляется чертёж и добавляется пункт доказательства 3)

Проведем с: с , с , с а

Добавляется пункт доказательства 4)

Добавляется пункт доказательства 5)

a ⊥.

Данная задача демонстрирует существование плоскости перпендикулярной данной прямой. Рассмотрим теорему, утверждающую о существовании и единственности прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Рассмотрим плоскость α и произвольную точку пространства – точку А.

Докажем, что через точу А проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

1,2) Итак, проведем в плоскости α произвольную прямую m . Построим плоскость так что бы она проходила через точку А перпендикулярно к прямой m .

3,4)Пусть плоскость α и β пересекаются по прямой n . В плоскости β, через точку А проведём прямую р, перпендикулярно прямой n .

5) Прямая т , перпендикулярна плоскости β , значит перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть прямая т перпендикулярна прямой р .

6) Тогда прямая p m и n , лежащими в плоскости α , следовательно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая p перпендикулярна плоскости α .

7) Важно понимать, что такая прямая может быть только одна. Если бы через точку А проходило две прямых, например, ещё прямая p 1 , перпендикулярная плоскости α. Но две прямые перпендикулярные одной плоскости параллельны, что противоречит нашему предположению. Таким образом, через точку пространства проходит только одна прямая перпендикулярная данной плоскости.

Это утверждение в геометрии носит название теоремы о прямой, перпендикулярной к плоскости.

На экране текст:

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

На экране чертеж

Проведём m : m

Рассмотрим β: βА

Проведем p : p , А р , pm .

К доказательству добавляется пункт 6)

На экране обновляется чертеж и пункт доказательства:

Задача

Через вершины А и В прямоугольника АВС D 1 и ВВ 1 1 АВ и АА 1 А D D =25 см, АВ=12 см, AD =16 см.

Решение.1) Так как прямая АА 1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и АВ лежащим в плоскости прямоугольника, то признаку перпендикулярности прямой к плоскости АА 1 D .

2) Прямая ВВ 1 параллельна прямой АА 1 следовательно по теореме и прямая ВВ 1 перпендикулярна к плоскости АВС D , и перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то есть ВВ 1 перпендикулярна к прямой В D . Значит треугольник В 1 В D прямоугольный.

3) Из прямоугольного треугольника ВAD по теореме Пифагора квадрат гипотенузы BD равен сумме квадратов катетов АВ и AD и BD равняется 20 см.

4)По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника В 1 В D . Квадрат катета В 1 В равен разности квадратов гипотенузы В 1 D и известного катета BD , и катет равен 15 см.

На экране текст задачи. Через вершины А и В прямоугольника АВС D проведены параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что АА 1 АВ и АА 1 А D . Найдите ВВ 1 , если В 1 D =25 см, АВ=12 см, AD =16 см

На экране текст и чертёж:

К решению добавляется пункт 2) обновляется чертеж

К решению добавляется пункт 3)

1. : по теореме Пифагора

В D =

К решению добавляется пункт 4) и потом ответ

: по теореме Пифагора

Ответ: 15 см.

Рассмотрим задачу на доказательство.

Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b b ||

Назовём точку пресечения прямой и плоскости-точкой М.

1,2) Отметим на прямой а некоторую точку N не лежащую на прямой b . Через точку не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую параллельную данной. Пусть этой прямой будет прямая b 1 .

3) Через точку N проведём прямую с 1 .

4)Через точку М в плоскости α проведём прямую с параллельную прямой с 1 .

5)Через две пересекающие прямые с 1 и b 1 можно провести плоскость β согласно теореме о существовании плоскости.

6) Прямая а перпендикулярна по условию плоскости α, значит перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости, но с параллельна прямой с 1 , следовательно прямая а перпендикулярна прямой с 1 .

7,8) Аналогично прямая а перпендикулярна прямой b по условию, прямая b параллельна прямой b 1 , следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b 1 . Значит прямая а, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярна плоскости β.

9)Плоскости α и β перпендикулярны прямой а, значит они параллельны.

10) Прямая b параллельна прямой b 1 , значит она параллельна плоскости β, и параллельна плоскости α.

На экране текст задачи:

Задача 3. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b , не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b||

Доказать, что || b

Отметим N : .

b 1 : b 1

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт 4)

Проведем с: с

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:

Добавляется пункт доказательства 6):

a ⊥α

Добавляется пункт доказательства 7) 8)

ab .

Добавляется пункт доказательства 9)

Добавляется пункт доказательства 10)

Что такое симметрия. Симметрия в географии. Симметрия в геологии. Природные объекты. Примеры симметричного распределения. Виды симметрии. Симметрия цилиндра. Симметрия внешней формы кристалла. Симметрия в биологии. Дискретная симметрия. Симметрия в природе. Симметрия является фундаментальным свойством природы. Симметрия в физике. Симметричные фигуры. Человек, многие животные и растения обладают двусторонней симметрией.

«Условие перпендикулярности прямой и плоскости» - Теорема о прямой,перпендикулярной к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Прямые МА и МС. Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m. Свойства наклонных. Теорема о двух параллельных прямых. Теоремы,устанавливающие связь между параллельностью. Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ. Теорема о трёх перпендикулярах. План построения. Теорема о двух прямых, перпендукулярных к плоскости.

«Методы построения сечений» - Формирование умений и навыков построения сечений. Памятка. Рассмотрим четыре случая построения сечений параллелепипеда. Секущая плоскость. Метод внутреннего проектирования. Построение сечений многогранников. Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Параллелепипед имеет шесть граней. Построить сечения тетраэдра. Метод следов. Работа с дисками.

«Следствия из аксиом стереометрии» - Элементы куба. Плоскость. Проведите прямую. Каким плоскостям принадлежит точка. Слайды по геометрии. Найдите прямую пересечения плоскостей. Решение. Различные плоскости. Аксиомы планиметрии. Самостоятельная работа. Утверждения. Постройте изображение куба. Планиметрия. Существование плоскости. Плоскости. Доказательство. Прямые,пересекающиеся в точке. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них.

«Определение двугранных углов» - Грани параллелепипеда. Где можно увидеть теорему трёх перпендикуляров. Задача. Проведем луч. Плоскость М. Точка на ребре может быть произвольная. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями. Двугранные углы в пирамидах. Перпендикуляр, наклонная и проекция. Точка К. Угол при боковом ребре прямой призмы. Определение и свойства. Ромб. Концы отрезка. Свойство трёхгранного угла. Перпендикулярные плоскости.

«Параллелепипед» - «Зальцбургский параллелепипед». Изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. В параллелепипед можно вписать тетраэдр. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда. Развитие геометрии. Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам. Так параллелепипед выглядит в развертке. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.